행렬, 행 사다리꼴(Echelon form)이란
선형대수학을 하다보면 Echelon form 이란 용어가 등장한다. 행렬식에서 Echelon form이란 가우시안 소거법에 의한 결과의 행렬이다.
Row echelon form 의 의미는 가우시안 소거 연산이 row(행)에 대해서 수행된 것이다.
Column Echelon form은 가우시안 소거연산이 Column(열)에 대해서 수행된 것을 말한다.
다른 말로 하면 column echelon form인 행렬은 row echelon form 의 transpose행렬이다.
Reduced row-echelon form 의 성립조건은 아래와 같다.
- 1. 전체가 0으로 구성되지 않은 행이 있다면 ,처음으로 오는 0이 아닌 숫자는 1이어야 한다. 우리는 이것은 leading 1이라고 부른다.
- 2. 전체가 0으로 구성된 행이 있다면, 그것들을 모아 행렬의 가장 아래에 위치시킨다.
- 3. 전체가 0으로 구성되지 않은 2개의 연속된 행에서, 아래 행의 leading 1은 윗 행의 leading 1보다 더 오른 쪽에 있어야 한다.
- 4. leading 1을 포함하는 각 열은 leading 1의 위아래가 0이어야 한다.
아래는 Reduced row-echelon form의 예시이다. 행렬의 기본행 연산을 통해서 유도가능하다.
1. 아래 행렬 A[[1,1,1,1],[2,3,4,5]]에서 첫번째 leading 인 1행을 두고 , 3번 규칙에 따라 아래행의 leading1을 2열로 만들어 주어야 한다. 이를 위해서
2. [2,3,4,5] + (-2)*[1,1,1,1,] => [0,1,2,3] 이 된다. [[1,1,1,1],[0,1,2,3]]이 된다. 이제 4번 규칙을 위해서 1열에서 2열을 뺴준다.
3. [[1,1,1,1],[0,1,2,3]] -> [1,1,1,1] + (-1)*[0,1,2,3] => [[1,0,-1,-2],[0,1,2,3]]
정 의 mxn 행렬 A에 관한 다음 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한다.
E1 : A의 두 행 i 행과 j 행을 서로 바꾼다.
E2 : A의 i 행에 0 이 아닌 상수 k 를 곱한다.
E3 : A의 i 행을 k 배하여 j 행에 더한다.
- 앞으로 기본행연산을 다음과 같이 기호로 나타내기로 한다.
( [예제 1] 참조 )
E1 : Ri <--> Rj
E2 : k Ri
E3 : k Ri + Rj
정 의 행렬 A에 기본행연산을 시행하여 얻어지는 행렬을 B라 하면 A와 B는 행동치 (row equivalent)라고 한다.
- 다음 행렬 A를 기본행연산을 시행하여 REF와 RREF로 변형시켜 보자.
단계 1.
단계 2.
단계 3.
Note: 위의 행렬 A2를 다음과 같이 쓰기도 한다.
A2= [1 2 -1 1 ; 0 2 1 -1 ; 3 5 -5 1 ]
<이 표현은 타이핑 할 때는 아주 편하며 MATLAB 프로그램의 명렬어이기도 하다>
단계 4.
[ A3의 1 행의 선행성분 아래에 있는 모든 성분을 0 으로 만든다.]
A3= [1 2 -1 1 ; 0 2 1 -1 ; 0 -1 -2 -2 ]
A2의 1 행에 -3 배 하여 3행에 더했다.
단계 5.
[ A_3 의 1행을 제외한 나머지를 B 라 하고 단계 1에서 단계 4를 반복한다.]
B= [0 2 1 -1 ; 0 -1 -2 -2 ]
(성분이 모두는 0이 아닌 가장 좌측열에서 시작) B의 1 행과 2행을 교환한다.
B2= [0 1 2 2 ; 0 2 1 -1 ]
B1의 1 행을 -1 로 나누었다.
B3= [0 1 2 2 ; 0 0 -3 -5 ]
B2의 1행의 -2배를 2행에 더했다.
단계 6.
[ B_2 의 1행을 제외한 나머지를 C 라 하고 단계 1에서 단계 3을 반복한다.]
C= [0 0 -3 5 ]
(성분이 모두는 0이 아닌 가장 좌측열에서 시작한다)
C1= C2 =[ 0 0 1 5/3 ]
C의 1 행을 -3으로 나누었다.
따라서, 다음과 같은 A 의 REF을 얻는다.
