중심 극한 정리(Central Limit Theorem)

중심극한 정리란 다음과 같다. 

모집단이 평균이 μ이고 표준편차가 σ인 임의의 분포를 따른다고 할 때, 이 모집단으로 부터 표본을 충분히 큰 크기의 n으로 추출하였다면 이 표본 평균들이 이루는 분포는 평균이 μ이고 표준편차가 σ/√n인 정규분포에 근접하다. 

과연 이게 무슨 말일까??

여기서 말하는 표본 평균 분포에서의 표본평균분포는 내가 수집한 n개의 표본이 가지는 분포가 아니다. Sampling disribution of sample mean으로 내가 n개(cf. 20개)의 표본을 뽑는 행위를 1000번 반복했을 때, 선택하는 n의 값이 커질 수록 점점 표본평균의 분포가 μ가 되고 표준 편차가 σ/√n인 정규분포에 근접진다는 것 이다.

한 마디로 경향성에 대한 이야기이다. 

중심극한정리가 중요한 이유는 표본 수집을 기반으로 한 추리 통계에 대한 이론적 근거가 되기 떄문이다. 쉽게 말해서 모집단이 어떤 분포를 가지고 있던지 간에 (모집단의 분포 경향과 상관없이) 표본의 크기가 충분히 크다면,  표본 평균들의 분포가 모집단의 모스를 기반으로 한 정규 분포를 이룬다는 점을 이용해서 특정사건이 일어날 확률을 계산할 수 있게 된다. 

즉 , 중심극한 정리는 표본 평균들이 이루는 표본 분포와 모집단 간의 관계를 증명함으로써, 수집한 표본의 통계량을 통해 모집단의 모수를 추정할 수 있는 수학적근거라고 할 수 있다.