행렬, 행 사다리꼴(Echelon form)이란

선형대수학을 하다보면 Echelon form 이란 용어가 등장한다. 행렬식에서 Echelon form이란 가우시안 소거법에 의한 결과의 행렬이다. 

Row echelon form 의 의미는 가우시안 소거 연산이 row(행)에 대해서 수행된 것이다.

Column Echelon form은 가우시안 소거연산이 Column(열)에 대해서 수행된 것을 말한다.

다른 말로 하면 column echelon form인 행렬은 row echelon form 의 transpose행렬이다. 

 Reduced row-echelon form 의 성립조건은 아래와 같다. 

• 1. 전체가 0으로 구성되지 않은 행이 있다면 ,처음으로 오는 0이 아닌 숫자는 1이어야 한다. 우리는 이것은 leading 1이라고 부른다.
  
• 2. 전체가 0으로 구성된 행이 있다면, 그것들을 모아 행렬의 가장 아래에 위치시킨다.
  
• 3. 전체가 0으로 구성되지 않은 2개의 연속된 행에서, 아래 행의 leading 1은 윗 행의 leading 1보다 더 오른 쪽에 있어야 한다. 
  
• 4. leading 1을 포함하는 각 열은 leading 1의 위아래가 0이어야 한다.

아래는 Reduced row-echelon form의 예시이다.  행렬의 기본행 연산을 통해서 유도가능하다.

1. 아래 행렬 A[[1,1,1,1],[2,3,4,5]]에서 첫번째 leading 인 1행을 두고 , 3번 규칙에 따라 아래행의 leading1을 2열로 만들어 주어야 한다. 이를 위해서

2. [2,3,4,5] + (-2)*[1,1,1,1,] => [0,1,2,3] 이 된다. [[1,1,1,1],[0,1,2,3]]이 된다. 이제 4번 규칙을 위해서 1열에서 2열을 뺴준다. 

3. [[1,1,1,1],[0,1,2,3]] -> [1,1,1,1] + (-1)*[0,1,2,3] => [[1,0,-1,-2],[0,1,2,3]]

정 의  mxn 행렬 A에 관한 다음 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한다.

          E1 : A의 두 행 i 행과 j 행을 서로 바꾼다.

          E2 : A의 i 행에 0 이 아닌 상수 k 를 곱한다.

          E3 : A의 i 행을 k 배하여 j 행에 더한다.
 

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•   앞으로 기본행연산을 다음과 같이 기호로 나타내기로 한다.

( [예제 1] 참조 )

    E1 : Ri <--> Rj

    E2 : k Ri

    E3 : k Ri + Rj

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정 의 행렬 A에 기본행연산을 시행하여 얻어지는 행렬을 B라 하면 A와 B는 행동치 (row equivalent)라고 한다.

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• 다음 행렬 A를 기본행연산을 시행하여 REF와 RREF로 변형시켜 보자.

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단계 1.

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단계 2.

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단계 3.

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Note: 위의 행렬 A2를 다음과 같이 쓰기도 한다.

  A2= [1 2 -1 1 ; 0 2 1 -1 ; 3 5 -5 1 ]

<이 표현은 타이핑 할 때는 아주 편하며 MATLAB 프로그램의 명렬어이기도 하다>

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단계 4.

    [ A3의 1 행의 선행성분 아래에 있는 모든 성분을 0 으로 만든다.]

  A3= [1 2 -1 1 ; 0 2 1 -1 ; 0 -1 -2 -2 ]

  A2의 1 행에 -3 배 하여 3행에 더했다.

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단계 5.

  [ A_3 의 1행을 제외한 나머지를 B 라 하고 단계 1에서 단계 4를 반복한다.]

  B= [0 2 1 -1 ; 0 -1 -2 -2 ]

  (성분이 모두는 0이 아닌 가장 좌측열에서 시작) B의 1 행과 2행을 교환한다.

  B2= [0 1 2 2 ; 0 2 1 -1 ]

  B1의 1 행을 -1 로 나누었다.

  B3= [0 1 2 2 ; 0 0 -3 -5 ]

  B2의 1행의 -2배를 2행에 더했다.

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단계 6.

  [ B_2 의 1행을 제외한 나머지를 C 라 하고 단계 1에서 단계 3을 반복한다.]

  C= [0 0 -3 5 ]

  (성분이 모두는 0이 아닌 가장 좌측열에서 시작한다)

  C1= C2 =[ 0 0 1 5/3 ]

  C의 1 행을 -3으로 나누었다.

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따라서, 다음과 같은 A 의 REF을 얻는다.