테일러급수의 의미

테일러 급수에 대해 말하기 앞서 먼저 미분계수가 무엇인지에 대해 알아보자.

미분계수란 f(x)를 미분한 결과인 도함수 f(x)` 의 값 중에서 특정한 값을 말한다. 즉, 도함수의 특정시점을 의미한다. 

미분계수의 정의

이러한 미분 계수는 두 가지 방식으로 표현할 수 있다. 

먼저 정의역 x로 순간변화율을 표현하는 방법

둘째로는 x의 변화량 △x를 나타내서 순간변화율을 표현하는 방법이 있다. 

첫번째의 경우는 정의역 x를 통해 순간변화율을 표현하며, 표기법은 아래와 같다. 

쉽게 생각하면 위의 표현은 정의역 x가 a라는 지점으로 갈 수록 생기는 순간변화율, 접선의 기울기로 바라 보면 된다. 

두번째의 경우 x의 변화량 △x를 나타내서 순간변화율을 표현하는 방법은 △x를 h로 표현하며, 표기법은 아래와 같다. 

이 때 h가 0으로 갈 때의 순간변화율을 말한다. 이때 표현이 좀 더 편하다는 장점이 있다. 

자 그럼 본론인 테일러급수에 대한 이야기로 가보자. 

테일러 급수는 쉽게 말해서 어떤 함수 f(x)를 다항함수로 표현한 것이다. 즉 곡선을 특정한 기울기를 가지는 직선들의 합으로 표현했다고 보면 쉽다. 

테일러 급수의 식은 아래와 같다.

위 식을 보면 결국 테일러 급수는 좌변과 우변이 모든 x에서 성립하는 것이 아니라 x=a인 시점에만 성립한다는 것을 알아야 한다. 즉, 테일러 급수는 x= a에서 f(x)와 동일한 미분계수를 가지는 어떤 다향함수들의 합으로 f(x)를 근사 시키는 것이며, 이를 통해서 비선형 시스템을 선형화 시키는데 사용한다. 

즉 직선이나 다항식으로 표현하기 어려운 곡선의 비선형성을 시점을 촘촘히 나누어서 직선으로 표현하는 것이다.