Determinant of Matrix(행렬식의 정의)

행렬식의 정의

행렬식(determinant)은 행렬을 대표하는 값으로 n x n (n은 2 이상)의 정사각행렬 A에 대해 다음과 같이 정의됩니다. detA11이란 A에서 1행과 1열을 제외한 행렬의 행렬식을 의미한다.

2 x 2 행렬의 요소값이 a,b,c,d 즉, [[a,b],[c,d]]라고 할 때 행렬식은 ad−bc 가 된다. .

A의 행렬식

A가 다음과 같다고 할 때, 

 

detA는 다음과 같이 계산된다. 아래에서 detAij는 A에서 i행j열을 소거한 행렬 값을 말한다. 

지금까지는 행렬식을 구할 때 A의 첫번째 행을 쓰는 걸 기준으로 설명했지만, 행렬은 사실 어떤 행이나 열을 택하더라고 결국 행렬식은 같은 값이 나오는 성질을 가지고 있다. 이를 일반화 한 것을 Cij (i,j)-cofactor라고 한다.

(i,j)-cofactor

행렬식의 성질

행렬식의 성질은 다음과 같다.

(1) 행렬 A의 임의의 행에 스칼라 곱을 한 뒤 다른 행에 더해 BB를 만들었을 때 두 행렬의 행렬식은 같다.

(2) 행렬 A의 임의의 행을 다른 행과 바꾸어 B를 만들었을 때 detB=−detA

(3) 행렬 A의 임의의 행에 스칼라 곱을 해 BB를 만들었을 때 detB=kdetA

(4) 삼각행렬(triangular matrix)의 행렬식은 주 대각원소들의 곱과 같다.

(5) 행렬 AA가 가역(invertible)임과 detA≠0임은 동치.

(6) detAT=detA

(7) detAB=(detA)(detB)